Décrire le programme de construction des tangentes au cercle \(\mathcal C(A,B)\) passant par un point \(C\)

Bissectrice de \([AC]\)
Notons \(P,Q\) les points définis par : $$\{P,Q\}=\mathcal C(C,A)\cap\mathcal C(A,C)$$
Soit $$M=(PQ)\cap(AC)$$

Les tangentes passent par l'intersection du cercle de centre \(M\) et \(\mathcal C(A,B)\)

On définit : $$\{D,E\}=\mathcal C(M,A)\cap\mathcal C(A,B)$$

Alors \((CD)\) et \((CE)\) sont tangentes à \(\mathcal C(A,B)\)

Soit \(\mathscr C\) la courbe définie par l'équation $$y^2-x^2(x+1)=0$$ calculer l'équation de la tangente en un point de \(\mathscr C\)

Si \(\mathscr C\) est déterminée par l'équation \(f(x,y)=0\), alors \(\operatorname{grad} f=\begin{pmatrix}{\frac{\partial f}{\partial x}}\\ {\frac{\partial f}{\partial y}}\end{pmatrix}\) est orthogonale à \(\mathscr C\)

La tangente en \((x_0,y_0)\) à \(\mathscr C\) a donc pour équation $$\left\langle\binom xy-\binom{x_0}{y_0},\operatorname{grad} f(x_0,y_0)\right\rangle=0$$

Calcul du gradient
Donc pour \((x_0,y_0)\in\mathscr C,(x_0,y_0)\neq(0,0)\), $$\operatorname{grad} f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} x_0(3x_0+2)\\ 2y_0\end{pmatrix}$$

Conclusion

Donc la tangente à \(\mathscr C\) en \((x_0,y_0)\) est : $$(x-x_0)x_0(3x_0+2)+2y_0(y-y_0)=0$$

(Gradient, Produit scalaire)

Soit \(\mathscr C\) la courbe définie par l'équation $$y^2-x^2(x+1)=0$$
On exclut de l'exercice les points \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) s'annulent simultanément
On a \((x_0,y_0)\in\mathscr C,(x_0,y_0)\neq(0,0)\), $$\operatorname{grad} f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} x_0(3x_0+2)\\ 2y_0\end{pmatrix}$$
Pour quels points la tangente est-elle horizontale ?

Horizontal si sur la courbe et si \(\frac{\partial f}{\partial x}=0\)

La tangente à \(\mathscr C\) est horizontale en \((x_0,y_0)\) si le gradient de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est vertical, avec $$\operatorname{grad} f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0 ,y_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0(3x_0+2)\\ 2y_0\end{pmatrix}$$ la tangente est donc horizontale si et seulement si \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\)
On a $$\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\\ \iff&-3x_0^2-2x_0=0\\ \iff&x_0(-3x_0-2)=0\\ \iff& x_0=0\quad\text{ ou }\quad x_0=-\frac23\end{align}$$ de plus, on veut que \((x_0,y_0)\in\mathscr C\), donc \(f(x_0,y_0)=0\)
Si \(x_0=0\), alors \(y_0=0\) (c'est un point exclus par l'exercice)
Si \(x_0=-\frac32\), alors \(y=\pm\frac23\frac{\sqrt3}3\)
La tangente à la courbe est donc horizontale en \((-\frac23,-\frac23\frac{\sqrt3}2)\)

Trouver l'équation du plan tangent à la surface $$z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1)$$ en \((x_0,y_0,z_0)=(1,\frac12,1)\)

Calcul des dérivées partielles et évaluation en \((1,\frac12)\)
$$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=y\pi\cos(\pi xy)e^{2x^2y-1}+\sin(\pi xy)\cdot4 xye^{2x^2y-1}\\ \implies\frac{\partial f}{\partial x}(1,1/2)&=2\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=x\pi\cos(\pi xy)e^{2x^2y-1}+\sin(\pi xy)\cdot2x^2e^{2x^2y-1}\\ \implies\frac{\partial f}{\partial x}(1,1/2)&=2\end{align}$$

On vérifie que le point \((1,\frac12,1)\) appartient à la surface : $$f(1,1/2)=1e^0=1\qquad\checkmark$$ donc le point appartient bien à la surface

Application de la formule

L'équation du plan tangent en \((1,\frac12,1)\) est donc : $$\begin{align}&z-1=2(x-1)+2(y-2)\\ \iff&2x+2y-z=2\end{align}$$

(Surface de niveau)

Trouver les points sur le paraboloïde \(z=4x^2+y^2\) où le plan tangent est parallèle au plan \(x+2y+z=6\)

Chercher un vecteur normal au plan
Un vecteur normal au plan est \(u_0=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\)

Définition de la surface
Soit \(f(x,y,z)=z-4x^2-y^2\). La surface est donnée par $$\mathscr S=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=0\}$$

On sait que \(\operatorname{grad} f(x,y,z)\) est orthogonale au plan tangent à \(\mathscr S\) en \((x,y,z)\)
On cherche donc les points \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\in{\Bbb R}^3\) tels que \(\operatorname{grad}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) est colinéaire à \(u_0\)
$$\begin{align}&\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lambda\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2\lambda\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\lambda\end{cases}\\ &\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},\begin{cases}-8x=\lambda\\ -2y=2\lambda\\ 1=\lambda\end{cases}\\ &\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},\begin{cases} x=-1/8\\ y=-1\\ \lambda=1\end{cases}\end{align}$$ au point \((-1/8,-1,17/16)\), le plan tangent à la surface d'équation \(z=4x^2+y^2\) est parallèle au plan d'équation \(x+2y+z=6\)

Soit \(\mathscr C\) le cône d'équation \(z^2=x^2+y^2\)
On note \(\mathscr P_{M_0}\) le plan tangent au cône \(\mathscr C\) en \(M_0\in\mathscr C\setminus\{(0,0,0)\}\)
Déterminer un vecteur normal et l'équation du plan tangent \(\mathscr P_{M_0}\) en un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) du cône autre que l'origine

Définition de la fonction \(\to\) le vecteur normal est le gradient de cette fonction
Soit \(f(x,y,z)=z^2-x^2-y^2\) un vecteur normal à \(\mathscr P_{M_0}\) est $$\operatorname{grad} f(M_0)=\begin{pmatrix}-2x_0\\ -2y_0\\ 2z_0\end{pmatrix}$$

L'équation du plan tangent en \(M_0\) est $$\begin{align}&\left\langle\begin{pmatrix}-2x_0\\ -2y_0\\ 2z_0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{pmatrix}\right\rangle=0\\ \implies& x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)-z(z-z_0)=0\end{align}$$

(Vecteur normal, Gradient)

Soit \(\mathscr C\) le cône d'équation \(z^2=x^2+y^2\)
On note \(\mathscr P_{M_0}\) le plan tangent au cône \(\mathscr C\) en \(M_0\in\mathscr C\setminus\{(0,0,0)\}\)
L'équation du plan tangent \(\mathscr P_{M_0}\) en un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) du cône autre que l'origine est donnée par : $$x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)-z(z-z_0)=0$$ déterminer les autres points du cône ayant le même plan tangent \(\mathscr P_{M_0}\)

Définition d'un deuxième plan tangent
Soit \(M_1=(x_1,y_1,z_1)\in\mathscr C\)
Le plan tangent \(P_{M_1}\) en \(M_1\) à \(\mathscr C\) a pour équation : $$x_1(x-x_1)+y_1(y-y_1)-z(z-z_1)=0$$

Les deux plans sont parallèles
On a \(P_{M_0}=P_{M_1}\) si et seulement si : $$\exists\lambda,\begin{cases} x_0=\lambda x_1\\ y_0=\lambda y_1\\ z_0=\lambda z_1\end{cases}$$

Trouver un point commun au deux plans
On soit aussi avoir $$\begin{align}&x_1(x_0-x_1)+y_1(y_0-y_1)-z_1(z_0-z_1)=0\\ \iff& x_1^2(\lambda-1)+y^2_1(\lambda-1)-z^2_1(\lambda-1)=0\\ \iff&\underbrace{(x_1^2+y_1^2-z^2_1)}_{=0\quad\text{ car }\; M_1\in\mathscr C}(\lambda-1)=0\end{align}$$c'est toujours vrai, on doit donc seulement avoir $$\exists\lambda,\begin{cases} x_0=\lambda x_1\\ y_0=\lambda y_1\\ z_0=\lambda z_1\end{cases}$$

Vérification et conclusion

On vérifie que si \(M_1=\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix}\in\mathscr C\) et \(\lambda\in{\Bbb R}^*\), alors \(M_0=\begin{pmatrix}\lambda x_1\\ \lambda y_1\\ \lambda z_1\end{pmatrix}\in\mathscr C\)
En effet : $$\begin{align} z_0^2=x_0^2+y_0^2&\iff(\lambda z_1)^2=(\lambda x_1)^2+(\lambda y_1)^2\\ &\iff\lambda^2z_1^2=\lambda^2x_1^2+\lambda^2y_1^2\\ &\iff z_1^2=x_1^2+y_1^2&\quad\text{ car }\; \lambda\neq0\end{align}$$ donc si \(M_1\in\mathscr C\), si \(\lambda\neq0\), alors \(M_0\in\mathscr C\)
Conclusion : \(\forall M_1\in\mathscr C\setminus\{(0,0,0)\},\forall\lambda\neq0\), pour \(M_0=\lambda M_1\), on a \(P_{M_0}=P_{M_1}\)

Tracer les tangentes au cercle \(\mathcal C(A,B)\) passant par un point \(C\) extérieur au cercle

Tracer \(M\) le milieu de \([AB]\)

Tracer les droites passant par \(M\) et l'une des intersections des deux cercle

(c'est OK parce que si le plus grand côté d'un triangle inscrit est le diamètre du cercle, alors c'est un triangle rectangle)

Soit \(A,B,C,D\) quatre points donnés distincts
On souhaite tracer, quand il existe, un cercle qui passe par \(A\) et \(B\) et qui est tangent à \((CD)\)
Dans le cas où \((AB)\cap(CD)=\{E\}\) avec \(A\in\,]E,B[\), exécuter et justifier le programme de construction suivant : $$\begin{align} 1)\quad&E=(AB)\cap(CD)\quad\text{ avec }\quad A\in\,]EB[\\ 2)\quad&\mathcal D\text{ la droite perpendiculaire à }(AB)\text{ qui passe par }A\\ 3)\quad&\{F,F^\prime\}:=\mathcal D\cap\mathcal C[EB]\\ 4)\quad&\{T_1,T_2\}:=\mathcal C(E,F)\cap(CD)\\ 5)\quad&\text{les deux cercles qui passent par }A,B\text{ et }T_i,i=1,2\text{ conviennent}\end{align}$$

Schéma du programme terminé

Direction de la démonstration via la puissance
Il suffit de montrer que $$P_{ABT_1}(E)=ET_1^2\qquad(\implies ET_1\text{ tangente})$$

Calculer la puissance

On a $$\begin{align} P_{ABT_1}(E)&=EA\cdot EB\\ &=EA\cdot(EA+AB)\\ &=EA^2+\underbrace{EA\cdot AB}_{\lvert P_{\mathcal C[EB]}(A)\rvert}\\ &=EA^2+AF^2\\ &=EF^2&&(\text{Pythagore})\\ &=ET_1^2&&(F,T_1\in\mathcal C(E,F)\text{ par construction})\end{align}$$

Soit \(A,B,C,D\) quatre points donnés distincts
On souhaite tracer, quand il existe, un cercle qui passe par \(A\) et \(B\) et qui est tangent à \((CD)\)
Dans le cas où \((AB)\cap(CD)=\{E\}\) avec \(A\in\,]E,B[\), exécuter et justifier le programme de construction suivant : $$\begin{align} 1)\quad&E=(AB)\cap(CD)\quad\text{ avec }\quad A\in\,]EB[\\ 2)\quad&\mathcal D\text{ la droite perpendiculaire à }(AB)\text{ qui passe par }A\\ 3)\quad&\{F,F^\prime\}:=\mathcal D\cap\mathcal C[EB]\\ 4)\quad&\{T_1,T_2\}:=\mathcal C(E,F)\cap(CD)\\ 5)\quad&\text{les deux cercles qui passent par }A,B\text{ et }T_i,i=1,2\text{ conviennent}\end{align}$$
Donner les programmes de construction dans les autres cas

Énumérations des cas : soit même programme, soit impossible certains cas
Autres cas possibles :

• \(B\in\,]AE[\) : même construction
• \(E\in\,]AB[\) : impossible car un cercle ne peut pas être tangent à l'une de ses cordes
• \(E\) n'existe pas : \((AB)//(CD)\)
• \(B=E\) (ou \(A=E\))

Troisième cas tracer la médiatrice de \([AB]\)
Programme pour le troisième cas : $$M=\frac{A+B}2,\mathcal D\ni M\quad\text{ et }\quad\mathcal D\perp(CD)$$

Cercle passant par \(A,B\) et l'intersection de cette médiatrice et \((CD)\) est solution
$$N=\mathcal D\cap(CD),\qquad \mathcal C(A,B,N)\text{ solution}$$

Programme pour le quatrième cas : $$B\in\mathcal D\perp(CD)$$

Tracer la médiatrice de \([AB]\)
$$M=\frac{A+B}2,\qquad \mathcal D^\prime\ni M,\perp(AB)$$

Le cercle dont le centre est l'intersection des deux droites fonctionne

$$O=\mathcal D\cap\mathcal D^\prime,\qquad \mathcal C(O,A)\text{ fonctionne}$$